Ο Σταυρόπουλος ξεκίνησε την καριέρα του στο Χαλάνδρι και στη συνέχεια μεταπήδησε στην ομάδα νέων της ΑΕΚ, όπου και έζησε τη μεγαλύτερη στιγμή της καριέρας του, καθώς ήταν στην προεπιλογή της εθνικής παίδων σε ηλικία 16 ετών.

Ένας τραυματισμός του στέρησε όμως το όνειρο και στη συνέχεια  βρέθηκε στη Νέα Ιωνία. Ο Κώστας αγωνίζεται ως ''μικρός'' και προορίζεται για αντικαταστάτης του Απόστολου Παπαδόπουλου (που μεταγράφηκε στον Ηρακλή). Θεωρεί ως πρόκληση τη συμμετοχή του στην ομάδα του Πανναξιακού, καθώς θέλει να επανέλθει άμεσα σε υψηλό αγωνιστικό επίπεδο και γνωρίζει πως οι καλές εμφανίσεις με την ομάδα της Νάξου, θα φέρουν ''την πρόταση για παραπάνω''... όπως ακριβώς συνέβη και με τον Παπαδόπουλο.

Ο Σταυρόπουλος αναμένεται να αποτελέσει δίδυμο στο κέντρο της άμυνας με τον Γρηγόρη Τόσκα, ο οποίος και φέτος αναμένετε να είναι ο ηγέτης της ομάδας.